Numerical Methods for two types of Stochastic Differential Equations with Nonglobally Lipschitz Coefficients.

Abstract

This doctoral thesis focuses on the numerical solution of Stochastic Differential Equations (SDEs) with non-globally Lipschitz coefficients. It involves two independent investigations that propose different procedures for the effective numerical simulation of these models. The first investigation centers on the numerical solution of the non-linear stochastic Schr¨odinger equation, which is a stochastic differential equation with locally Lipschitz continuous coefficients commonly used to model quantum measurement processes. We analyze the rate of weak convergence of an exponential scheme that reproduces the norm of the desired solution by using a projection onto the unit sphere. In particular, we prove that the exponential scheme converges with weak-order one, and obtain the leading order term of its weak error expansion. This justifies using the Talay-Tubaro extrapolation procedure in the numerical simulation of open quantum systems. By employing this procedure, a secondorder method for computing mean values of smooth functions of the solution is obtained. Furthermore, we prove that the exponential scheme under study has order of strong convergence 1/2, validating its application in the Multilevel Monte Carlo method. Numerical experiments involving a quantized electromagnetic field interacting with a reservoir showcase the effectiveness of the proposed methods. The second investigation introduces a new methodology for the effective pathwise numerical simulation of stochastic differential equations with non-globally Lipschitz continuous coefficients. Specifically, we focus on SDEs with linear multiplicative noise. We employ a suitable invertible continuous transformation to establish a connection between the original SDE and an auxiliary Random Differential Equation (RDE). This explicit conjugacy enables the development of new pathwise numerical schemes for the studied SDE, utilizing numerical approximations of the auxiliary RDE. In particular, we introduce two numerical methods: one based on an exponential scheme and the other based on the Heun scheme. In order to showcase the practical applicability of our approach, we implement it within a compartmental epidemic model, specifically the stochastic SVIR model. This SDE captures the dynamics of a continuous vaccination strategy in the presence of environmental noise effects. Through comparative analysis with commonly used numerical approximations, we validate the effectiveness of our proposed numerical methods for simulating epidemiological models.

Esta tesis doctoral se centra en la solución numérica de Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (EDE) con coeficientes no globalmente Lipschitz continuos. En esta se desarrollaron dos investigaciones independientes que proponen procedimientos distintos para la simulación numérica efectiva de cada uno de estos modelos. La primera investigación se centra en la solución numérica de la ecuación estocástica no lineal de Schrodinger, que es una ecuación diferencial estocástica con coeficientes localmente Lipschitz continuos, que es utilizada para modelar procesos de medida cuántica. Analizamos la tasa de convergencia débil de un esquema exponencial que reproduce la norma de la solución deseada utilizando una proyeccción sobre la esfera unitaria. En particular, probamos que el esquema exponencial converge con orden débil uno, y obtenemos el término de orden principal de su expansión de error débil. Esto justifica el uso del procedimiento de extrapolación de Talay-Tubaro en la simulación numérica de sistemas cuánticos abiertos. Empleando este procedimiento, se obtiene un método de segundo orden para calcular valores esperados de funciones suaves de la solución. Además, probamos que el esquema exponencial tiene orden de convergencia fuerte 1/2, validando su aplicación en el método Multilevel Monte Carlo. Experimentos numéricos que involucran un campo electromagnético cuantizado interactuando con un reservorio muestran la efectividad de los métodos propuestos. La segunda investigación introduce una nueva metodología para la simulacón numérica trayectorial de ecuaciones diferenciales estocásticas con coeficientes no globalmente Lipschitz continuos. En concreto, nos centramos en las EDE con ruido multiplicativo lineal. Empleamos una transformación continua invertible adecuada para establecer una conexión entre la EDE original y una Ecuación Diferencial Aleatoria (EDA) auxiliar. Esta conjugación explícita permite el desarrollo de nuevos esquemas numéricos para la EDE estudiada, utilizando aproximaciones numéricas de la EDA auxiliar. En particular, introducimos dos métodos numéricos: uno basado en un esquema exponencial y otro basado en el esquema de Heun. Para demostrar la efectividad práctica de nuestro enfoque, lo aplicamos a un modelo epidémico compartimental, en concreto a un modelo estocástico SVIR. Este modelo captura la dinámica de una estrategia de vacunación continua en presencia de efectos de ruido ambiental. Mediante un análisis comparativo con aproximaciones numéricas comunmente utulizadas, validamos la eficacia de nuestros métodos numéricos propuestos para simular modelos epidemiológicos.