First-order phase transition and cluster dynamics in the Q2R-Potts cellular automaton

Abstract

Cellular automata (CA) are discrete dynamical systems that allow the study of emergent phenomena from a bottom-up point of view. In this thesis, we focus on the Q2R-Potts model, a specific cellular automaton that is reversible and conservative both mathematically and physically. This model is distinguished by a phase space composed of fixed points and limit cycles, and possesses a conservative quantity akin to energy. We adapted the original formulation of the model, developed in two dimensions with q = 3 states, to a one-dimensional chain aiming to characterize its dynamics both macroscopically and microscopically. Initially, we conducted a comprehensive characterization of the phase space for a chain of length L = 6, analyzing the energy of each configuration, its period, and the microdynamics by measuring the accumulated state clusters. This initial analysis was crucial for understanding the complexity distribution in the automaton, particularly in terms of the richness of periods and configurations for a given energy. Subsequently, we extended our study to chains of lengths L = 256, L = 512 and L = 1024 constructing phase diagrams of magnetization versus energy density. We discovered a first-order phase transition in a critical energy region that converges to −0.9 > E/L > −0.88 while increasing the chain’s size. Then, we determined L = 1024 as the characteristic length and used this chain size to further explore the microdynamics of the system, introducing the concept of state clusters. The aforementioned exhibits a power-law behavior and self-organization depending on the energy governing the system configuration. Finally, this study offers a new perspective on understanding phase transitions in the Q2R-Potts model, approaching for the first time in the family of Q2R a first-order phase transition, emphasizing its physical relevance and non-ergodic behavior. Our findings pave the way for future research in discrete systems with complex emergent behaviors, particularly in extensions of the Q2R-Potts model to two and three dimensions.

Los autómatas celulares (AC) son sistemas dinámicos discretos que permiten el estudio de fenómenos emergentes desde una perspectiva microscópica, o bottom-up. En esta tesis, nos centramos en el modelo Q2R-Potts, un autómata celular específico que es reversible y conservativo tanto en el sentido matemático como físico. Este modelo se distingue por un espacio de fases compuesto de puntos fijos y ciclos límite, y una cantidad conservativa similar a la energía. Adaptamos la formulación original del modelo, que se desarrolló en dos dimensiones con q = 3 estados, a una cadena unidimensional, con el objetivo de caracterizar su dinámica tanto a nivel macroscópico como microscópico. Inicialmente, realizamos una caracterización completa del espacio de fases para una cadena de longitud L = 6, analizando la energía de cada configuración, su período y la dinámica de clusters acumulados. Este análisis inicial fue esencial para comprender la distribución de la complejidad en el autómata, especialmente en términos de la riqueza de periodos y configuraciones para una energía dada. Posteriormente, extendimos nuestro estudio a cadenas de longitudes L = 256, L = 512 y L = 1024, construyendo diagramas de fase de magnetización versus densidad de energía. Aquí, descubrimos una transición de fase de primer orden en una región crítica de energía, que converge a −0.9 > E/L > −0.88 a medida que aumentamos la longitud del sistema. Se establece L = 1024 como la longitud característica del sistema y utilizamos esta dimensión para explorar más a fondo la dinámica microscópica introduciendo el concepto de cluster de estados. Estos últimos, muestran un comportamiento de ley de potencias y auto-organización que depende de la energía de la configuración. Este estudio aporta una nueva perspectiva a la comprensión de las transiciones de fase en el modelo Q2R-Potts, estudiando por primera vez una transición de fase de primer orden en los modelos Q2R, enfatizando su relevancia física y su comportamiento no ergódico. Nuestros hallazgos abren caminos para futuras investigaciones en sistemas discretos con comportamientos emergentes complejos, particularmente en extensiones del modelo Q2R-Potts a dos y tres dimensiones.